Hoje tivemos nossa P3. As notas já estão disponíveis aqui. A VS será na sexta 27/6, às 10h.
Hoje resolvemos vários problemas do cap. 12 do Griffiths; foi a nossa última aula do curso. A P3 está marcada para a próxima segunda-feira, dia 16/6, às 14h30. Na quarta-feira, 11/6 estarei na minha sala para devolver listas resolvidas e tirar dúvidas entre 10h e 11h30.
Consideramos uma configuração de capacitor de placas planas paralelas, descrevendo o campo gerado por elas no seu próprio referencial, e em outros referenciais inerciais em movimento relativo ao capacitor. Consideramos também uma configuração com solenóide, fazendo o mesmo. Com isso conseguimos obter as transformações de Lorentz para os campos E, B.
Exemplos 12.13 e 12.14: usando as transf. de Lorentz, obtivemos os campos E e B de uma carga em movimento uniforme, de forma bem mais simples do que tínhamos feito anteriormente (com os potenciais de Liénard-Riechert).
Problema 12.47: descrevendo como um observador em movimento vê uma onda plana eletromagnética.
Problema 12.10: inclinação de mastro de barco (necessário para resolver o problema 12.42, que faremos na próxima aula.
O que vimos corresponde à seção 12.3.2 do Griffiths. Vamos parar a matéria por aqui. Na próxima segunda-feira teremos uma aula só de exercícios, e (a combinar) mais na quarta. Atentem para as novas datas e horários da P3 e da VS.
Exemplo 12.11: movimento de cíclotron.
Exemplo 12.12: momento oculto. Vimos que o momento das partículas carregadas que constituem uma corrente não é nulo, quando levamos em conta a relatividade. Esse é o momento oculto, que tinha aparecido de forma disfarçada no exemplo 8.3.
Magnetismo como fenômeno relativístico. Discutimos uma situação em que há um campo elétrico em um referencial, mas um magnético em outro. Esse é um exemplo de como os campos se transformam sob transf. de Lorentz. Na próxima aula estudaremos isso de forma mais sistemática.
O que vimos corresponde às seções 12.2.4 e 12.3.1 do Griffiths.
O jogo conceitual "A slower speed of light", desenvolvido pelo MIT, mostra efeitos relativísticos devido ao movimento do personagem que você controla no jogo. É bem curioso!
Hoje discutimos a remarcação das datas da P3 e VS. A P3 ficou para o dia 16/6 (segunda-feira) às 14h30, e a VS para o dia 27/6 às 10h.
Cinemática relativística: como partículas sem massa podem aparecer na relatividade. Fótons.
Exemplo 12.8: decaimento de píon.
Exemplo 12.9: espalhamento Compton.
Problema 12.34: colisões com alvo móvel versus colisões de duas partículas contra-propagantes.
Dinâmica relativística: a 2a Lei de Newton continua valendo, mas para o 4-momento. Como se transformam as forças. Forças de Minkowski (força própria).
O que vimos está nas seções 12.2.3 e 12.2.4 do Griffiths.
Problema 12.22 - diagramas de Minkowski.
Tempo próprio, definindo a quadri-velocidade; vimos que ela se transforma, sob transf. de Lorentz, de forma mais simples que a velocidade ordinária.
Problema 12.26: calculando o valor do produto escalar (invariante) da 4-velocidade por ela mesma.
Energia e momento relativísticos; definição do 4-vetor momento, da energia relativística, da energia de repouso e da energia cinética.
Fato experimental: em todo sistema isolado, a energia relativística e o momento se conservam.
Relação simples entre o momento e a energia relativísticos.
Problema 12.2 e 12.8: analisando uma colisão simples, para ver como o momento ordinário não é automaticamente conservado em referencial S' se ele for em S (usando transf. de Lorentz), enquanto que o momento relativístico é.
Cinemática relativística: exemplo 12.7.
O que vimos corresponde às seções 12.2.1, 12.2.2 e 12.2.3 do Griffiths.
Exemplo 12.6: usando as transf. de Lorentz para achar a fórmula de adição de velocidades.
Quadrivetores: definição e propriedades. Vetores covariantes e contravariantes. Invariância do produto escalar. Intervalo invariante, intervalos tipo espaço, tempo e luz.
Diagramas de Minkowski (de espaço-tempo). Presente, futuro, conjuntos de pontos com o mesmo intervalo. Causalidade.
O que vimos corresponde às seções 12.1.3 e 12.1.4 do Griffiths.
Atenção: resolvi suspender a aula desta quarta 28/5, por causa da greve dos rodoviários no Rio de Janeiro, e possível declaração de greve também em Niterói. Nossa próxima aula será na sexta-feira.
Exemplo 12.2: o paradoxo dos gêmeos. Os dois gêmeos não são equivalentes, pois só um deles é acelerado.
Problema 12.8: foguete e sinal de luz que ele manda, intervalos nos referenciais da Terra e do foguete.
Contração de Lorentz: experimento de pensamento com a luz cruzando um vagão de trem em movimento. Vimos como o vagão deve se encurtar para um observador estacionário.
Paradoxo da escada e do celeiro: qual dos dois encurta? Depende do ponto de vista.
As transformações de Lorentz: derivamos usando o encurtamento de Lorentz. Exemplo 12.4: usando as transformações de Lorentz para encontrar novamente a dilatação temporal e a contração de Lorentz.
O que vimos está nas seções 12.1.2 e 12.1.3 do Griffiths.
Hoje houve vista da P2, e discutimos os problemas da prova.
Problema 12.5: sobre a diferença entre o que um observador vê (com possíveis efeitos de retardo) e o que ele observa (com a ajuda de outros observadores no mesmo referencial inercial que ele).
Problema 12.6: como efeitos de retardo podem sugerir, erroneamente, que um objeto se move a velocidades superiores à da luz.
Segundo experimento de pensamento: dilatação temporal. Vimos que um possível paradoxo é resolvido quando se percebe que o processo de medida de um intervalo de tempo requer mais de um relógio sincronizado.
O que vimos está na seção 12.1.2 do Griffiths.
Hoje começamos a discutir a teoria da relatividade restrita.
Princípio da relatividade: as mesmas leis (da mecânica) devem se aplicar em qualquer referencial inercial. Referenciais inerciais são definidos como aqueles em que a 1a Lei de Newton vale.
O princípio da relatividade vale também para a dinâmica? Vimos argumentos a favor e contra. Lembramos o que se pensava sobre o hipotético éter, e como ele proveria um referencial preferencial para a eletrodinâmica. Só que os experimentos de Michelson-Morley indicaram que a velocidade da luz era a mesma em todas as direções, o que é incompatível com essa hipótese. Por 20 anos várias hipóteses foram propostas para explicar os dados experimentais, até que Einstein veio com a sua solução.
Einstein fez 2 postulados, a partir dos quais todas as consequências da relatividade restrita seguem. O primeiro postulado é que o princípio da relatividade deve valer não só para a mecânica, mas para toda a física. O segundo postulado é que a velocidade da luz é constante, e a mesma, em qualquer referencial inercial.
Vimos a fórmula de adição de velocidades (que mais tarde provaremos), analisando alguns exemplos. Problema 12.3 (adição de velocidades).
Experimentos gedanken (de pensamento), que ilustram resultados importantes da relatividade. Primeiro: relatividade da simultaneidade - vimos que observadores em movimento relativo vão discordar sobre o ordenamento temporal de eventos.
O que vimos corresponde às seções 12.1.1 e 12.1.2 do Griffiths.
Importante: devido à greve de ônibus no Rio, não teremos aula na quarta-feira 14/5.
Hoje tivemos a nossa prova. Assim que eu tiver corrigido coloco as notas aqui.
Hoje fizemos vários problemas como revisão para a prova de segunda-feira.
Começamos a aula vendo um exemplo de aplicação da fórmula de Abraham-Lorentz para reação de radiação, o exemplo 11.4, que mostra que o termo novo na eq. de movimento leva a amortecimento do movimento.
Depois resolvemos o problema 11.19, que mostra os problemas associados à lei de Abraham-Lorentz.
Em seguida vimos um modelo para carga composta que evidencia o mecanismo de reação de radiação, decompondo uma carga q em duas partes e analisando a força que uma faz sobre a outra. Para isso, precisamos fazer uma reversão de série, e obtivemos uma expansão para a (auto-)força em potências de d. O termo independente de d é metade da expressão de Abraham-Lorentz; para obter a outra metade é necessário uma análise mais cuidadosa, vejam o problema 11.20.
O que vimos corresponde às seções 11.2.2 e 11.2.3 do Griffiths.
Como eu não achei bom o argumento do Griffiths, simplesmente vimos as fórmulas da generalização de Liénard para a fórmula de Larmor, e para a distribuição angular da radiação, válidas para velocidades relativísticas. No cap. 12 vamos justificar esses resultados usando transformações de Lorenz.
Exemplo 11.3: radiação quando v e a são colineares - Bremsstrahlung.
Problema 11.15: achamos o ângulo com a velocidade para o máximo da radiação de Bremsstrahlung.
Problema 11.16: achando dP/dOmega e P para o caso de v e a perpendiculares entre si. Aplicação: radiação síncrotron.
Força de reação da radiação. Obtivemos a fórmula de Abraham-Lorentz para a força de reação da radiação, e vimos que ela é problemática. Ou apresenta aceleração espontânea que cresce exponencialmente (no caso de ausência de forças externas), ou apresenta pré-aceleração não-causal! Esse problema de reação de radiação é uma inconsistência do eletromagnetismo clássico que não entendemos muito bem até hoje.
-
O que vimos corresponde às seções 11.2.1 e 11.2.2 do Griffiths.
Obtivemos, até primeira ordem em r', os campos, vetor de Poynting e potência total irradiada por uma distribuição arbitrária de cargas e correntes.
Exemplo 11.2: usamos os resultados gerais que obtivemos para recuperar o caso do dipolo elétrico oscilante, e para obter a potência total irradiada por uma carga pontual (a famosa fórmula de Larmor).
Radiação de carga pontual: obtivemos os campos de radiação, vetor de Poynting e potência total irradiada de uma carga pontual, assumindo que v=0. Para obtermos a fórmula para v diferente de zero, fizemos considerações semelhantes àquelas do efeito Doppler, sobre as taxas aparentes diferentes de emissão de uma fonte estática versus uma que tem velocidade diferente de zero.
O que vimos está nas seções 11.1.4 e 11.2.1 do Griffiths.
Começamos fazendo uma revisão rápida do que vimos na última aula.
Fizemos o problema 11.3 do Griffiths, sobre resistência de radiação.
Calculamos V, E, B, S, P de um dipolo magnético.
Começamos a obter, em primeira ordem em r', os campos de radiação de uma distribuição arbitrária de cargas e correntes. Na próxima aula completamos o cálculo.
O que vimos corresponde às seções 11.1.3 e 11.1.4 do Griffiths. Lembrem que a lista 6 é para a próxima segunda-feira!
Começamos relembrando as expressões para E e B de uma carga pontual em movimento arbitrário. Então vimos o exemplo 10.4, em que achamos os campos de carga pontual em movimento uniforme.
Começamos o estudo de radiação, que é a transferência de energia para o infinito por cargas em movimento (como veremos, cargas aceleradas). Para termos contribuição significativa para a radiação, basta considerarmos os termos de E e B que caem como 1/r, ou mais lentamente que isso. Esses campos dão contribuição proporcional a 1/r^2 para o vetor de Poynting, que quando integrado na superfície de uma esfera de grande raio, nos dá a potência irradiada.
Radiação de dipolo elétrico. Fizemos um modelo físico de um dipolo elétrico como duas pequenas esferas metálicas ligadas por um fio, com uma corrente oscilante entre elas, de forma senoidal. Fomos então reescrevendo o resultado de acordo com aproximações sucessivas. A primeira é que a dimensão do sistema é muito menor do que r. A segunda, que as dimensões do dipolo são muito menores do que o comprimento de onda das ondas irradiadas. A terceira aproximação é que r é muito maior que o comprimento de onda. Com essas três aproximações obtivemos V e A de um dipolo ideal, e com eles os campos E e B, e a poência total irradiada.
O exemplo 11.1 discute como a radiação de dipolos explica a cor azul do céu, e alguns aspectos da polarização dessa luz.
O que vimos corresponde às seções 10.3.2, 11.1.1, e 11.1.2 do Griffiths. A lista de exercícios número 6 já está disponível.
Exemplo 10.3: potenciais de carga pontual a velocidade constante. Também mencionei o resultado do problema 10.14, que permite reescrever os potenciais de forma mais simples. Esse resultado vai ser usado na próxima aula.
Obtivemos os campos E e B de carga pontual em movimento arbitrário, basicamente tirando as derivadas dos potenciais encontrados; o cálculo é bastante longo devido à dependência implícita de r que o tempo retardado tem. Vimos que os campos têm um termo que cai com 1/r^2 (chamado campo de Coulomb generalizado) e um que cai com 1/r (chamado de campo de radiação, por ser responsável pela radiação de ondas eletromagnéticas).
O que vimos corresponde às seções 10.3.1 e 10.3.2 do Griffiths.
Exemplo 10.2: calculamos os campos criados por um fio reto e infinito com corrente que inicia nula e aumenta repentinamente para um valor constante.
Obtivemos as equações de Jefimenko, que dão explicitamente as expressões para E e B, dados rho e J arbitrários. Nessas expressões fica claro o que define o limite estático (veja o problema 10.12 do Griffiths).
Potenciais de Liénard-Wiechert - são os potenciais retardados V e A gerados por carga pontual que segue trajetória arbitrária. Na expressão para V, vimos que há uma integral da distribuição de carga no tempo retardado; essa integral não dá simplesmente a carga total, há um fator de aumento ou diminuição que entendemos com o exemplo de um trem. Com isso, obtivemos os potenciais de Liénard-Wiechert, que na próxima aula usaremos para descrever o campo de uma carga pontual em movimento arbitrário.
O que vimos está no Griffiths, seções 10.2.1, 10.2.2, 10.3.1.
Transformações de calibre: vimos exatamente qual a liberdade que temos em escolher potenciais A e V, de maneira a não alterarmos os campos físicos E e B. Os dois têm que ser mudados simultaneamente, e a transformação de calibre correspondente envolve a escolha de um campo escalar arbitrário lambda.
Problemas 10.3 e 10.5 fazendo uma transformação de calibre simples.
Calibre de Coulomb: já vimos que sempre podemos escolher A com divergente nulo, essa escolha corresponde ao calibre de Coulomb. Vimos as equações para V e A nesse calibre.
Calibre de Lorenz: vimos a definição; as equações para V e A são simétricas e envolvem o operador diferencial conhecido como d'Alembertiano.
Problema 10.7: provar que a equação que define o calibre de Lorenz sempre pode ser satisfeita.
Potenciais retardados. Provamos que V e A, no calibre de Lorenz, são dados por expressões simples e semelhantes ao que esperamos a partir do caso estático, mas agora envolvendo avaliação de rho e J nos tempos retardados. Curiosamente, as soluções com tempos adiantados também funcionam.
O que vimos corresponde ao Griffiths, seções 10.1.2, 10.1.3 e 10.2.1.
Resolvemos o problema de encontras as soluções de ondas propagantes TE para um guia de onda retangular. Vimos o problema também de outra perspectiva, como a propagação de uma onda plana que ricocheteia nas paredes do guia, mas só nos ângulos que permitem a satisfação das condições de contorno nas paredes do condutor que forma o guia.
Conversamos rapidamente sobre o guia de onda coaxial, que permite modos TEM.
Resolvi o problema 9.33, que consiste em confirmar que uma certa onda esférica simples é solução das equações de Maxwell.
Potenciais escalares e vetoriais. Começamos encontrando as equações para E e B em termos de V e A, agora levando em conta as equações de Maxwell completas (i.e. com o termo de Maxwell), que derivamos anteriormente. Encontramos as duas equações que V e A têm que satisfazer.
Exemplo 10.1: o campo de uma corrente superficial no plano x=0, na direção z, aumentando linearmente com o tempo a partir de zero.
O que vimos está no Griffiths, seções 9.5.2, 9.5.3 e 10.1.1.
Continuamos estudando o modelo de oscilador harmônico forçado e amortecido para descrever a resposta de um elétron (compondo um material dielétrico) ao campo elétrico oscilante de uma onda incidente. Vimos como traduzir o momento de dipolo desse elétron oscilante em uma polarização do meio; daí tiramos a suscetibilidade elétrica do material, e a sua constante dielétrica.
Vimos como o coeficiente de absorção e o índice de refração têm um comportamento diferente (dito anômalo) perto das ressonâncias naturais de oscilação do sistema. Nas ressonâncias, há uma queda abrupta no índice de refração, e um aumento do coeficiente de absorção.
Guias de onda: vamos descrever a propagação de ondas eletromagnéticas em guias de onda, que são essencialmente regiões longas de espaço vazio (ou com dielétrico), geralmente envolvidas por condutor, ao longo das quais propagamos ondas eletromagnéticas. Vimos que os campos E e B não são necessariamente transversos; podemos ter ondas TE, TM, ou TEM, indicando quais campos são transversos.
Teorema: ondas TEM não ocorrem em guias de onda ocos - para anular tanto o E transverso quanto o B transverso é necessário que tenhamos um segundo condutor no meio do guia. Na próxima aula vamos descrever ondas propagantes TE em um guia de onda retangular.
O que vimos nesta aula está nas seções 9.4.3 e 9.5.1 do Griffiths.
Ondas eletromagnéticas em condutores. Começamos estudando as soluções que se parecem com ondas planas, mas com um vetor de onda k complexo. A parte imaginária resulta em amortecimento (perda de energia); a parte real determina o comprimento de onda, velocidade e índice de refração. A razão entre a parte imaginária e real nos dá o atraso de fase de B em relação a E.
Em seguida vimos o problema de incidência normal de ondas planas em um meio dielétrico, incidindo sobre a interface plana com um meio condutor. O casamento das soluções resulta em soluções formalmente idênticas ao problema da interface de dois dielétricos, mas com uma constante beta complexa. Obtivemos os coeficientes de reflexão e transmissão. No limite de um condutor perfeito, temos inversão de fase na onda refletida, e nenhuma onda transmitida. Um filme fino de bom condutor (como ouro ou prata) faz bem esse papel.
Dependência da permissividade com a frequência (a chamada dispersão). Começamos delineando um modelo para os elétrons presos de um dielétrico, e de sua resposta a um campo elétrico oscilante, devido a uma onda incidente nesse meio. Modelamos esse elétron como um oscilador harmônico amortecido e forçado (pela força elétrica). Na próxima aula vamos discutir as previsões do modelo para a suscetibilidade elétrica e coeficiente de absorção.
O que vimos corresponde às seções 9.4.1, 9.4.2 e parte da 9.4.3 do Griffiths.
Hoje tivemos vista de prova.
Depois fiz uma breve revisão da última aula (que a maioria da turma matou), e começamos a estudar ondas eletromagnéticas em condutores. Vimos que em condutores as cargas livres rapidamente se espalham. Ignorando esse transiente, obtivemos as equações de Maxwell correspondentes, e vimos que E e B satisfazem uma equação de onda modificada, com um novo termo. As soluções, como é fácil de verificar, são formalmente ondas planas, mas com um vetor de onda k complexo. Na próxima aula vamos explorar as consequências.
O que vimos corresponde à seção 9.4.1 do Griffiths.
Hoje conversamos sobre diversos tópicos em ótica. Vejam abaixo alguns links interessantes:
-
Leiam aqui sobre outros fenômenos óticos interessantes:
a glória e
halos.
-
Eu mencionei que vi um fenômeno interessante durante um eclipse do sol: raios de luz que passavam por entre as folhas de uma árvore projetavam imagens do sol na forma de cunha, funcionando como
câmeras pin-hole. Vejam
imagens disso aqui.
-
-
Reflexão e transmissão para incidência oblíqua: resolvemos o caso de polarização no plano de incidência. Encontramos as 3 leis da ótica (plano dos vetores de onda, ângulos de incidência e reflexão iguais, Lei da refração, ou de Snell).
Vimos que para polarização no plano de incidência, existe um ângulo para o qual não há onda refletida - o ângulo de Brewster.
O que vimos corresponde à seção 9.3.3 do Griffiths.
Hoje resolvemos problemas da lista 3 e outros, como revisão para a prova.
Reflexão e transmissão para incidência normal: escrevemos as expressões para os campos incidente, refletido e transmitido, e aplicamos as condições de contorno para os componentes paralelos à interface dos dois meios (para incidência normal, só há esse componente). Resolvemos para as amplitudes dos campos refletido e transmitido em função da amplitude do campo incidente. Supondo que as permeabilidades magnéticas são iguais à do vácuo, as expressões encontradas em termos das velocidades são iguais àquelas da interface de duas cordas com densidades lineares diferentes.
Definimos os coeficientes de transmissão e reflexão para nos darem as frações da energia transmitida e refletida.
Devolvi as listas 1 e 2 corrigidas e discuti alguns dos problemas: problema 7.30, 7.32 e 7.48.
Na próxima aula vou resolver problemas do cap. 8, e na próxima sexta-feira teremos a nossa prova. Como combinamos, vamos começar a prova às 13h.
Continuando o estudo de ondas 1D na corda: obtendo os coeficientes de reflexão e transmissão na interface entre as duas cordas. Vimos que a onda refletida pode ter inversão, caso a incidência seja de meio com densidade linear de massa menor para maior.
Polarização de ondas, vetor de polarização.
Ondas eletromagnéticas no vácuo: vimos que B e E obedecem à equação de onda tridimensional, e as equações de Maxwell nos dão a velocidade das ondas eletromagnéticas: é a velocidade da luz!
Propagação e descrição de ondas planas monocromáticas.
Energia e momento de ondas eletromagnéticas monocromáticas.
Intensidade e pressão de radiação.
A aula correspondeu às seções 9.1.3, 9.1.4, 9.2.1, 9.2.2, e 9.2.3 do Griffiths.
Problema 8.11: modelo (falho) para o elétron, em que consideramos uma casca esférica com momento angular e energia devidos somente ao campo eletromagnético.
Ondas eletromagnéticas: antes de iniciar o estudo de ondas EM, voltamos ao caso 1D de ondas numa corda, estudando as soluções senoidais. Obtivemos a equação de onda 1D, e mostramos que ela admite soluções em que as perturbações se propagam a velocidade constante, sem mudar de formato.
Terminologia: fase, constante de fase, amplitude, comprimento de onda, número de onda, período, frequência, frequência angular.
Revisão da notação complexa para ondas; a motivação para isso é facilitar cálculos e manipulações.
Condições de contorno: reflexão e transmissão. Vimos a motivação física para impor a continuidade das funções e de suas derivadas, no ponto em que uma corda emenda na outra (mudando a densidade linear, logo a velocidade da onda).
O que vimos corresponde às seções 9.1.1, 9.1.2 e início da 9.1.3.
Resolvemos o problema 8.4, em que calculamos a força de repulsão entre duas cargas usando o tensor das tensões de Maxwell.
Resolvemos também o problema 8.6, em que temos um capacitor carregado e com campo magnético transverso. Vimos duas formas de transferir o momento eletromagnético para momento mecânico.
Os campos eletromagnéticos também têm momento angular. Vimos um exemplo (8.4 do Griffiths), em que o momento angular se transfere para duas cascas cilíndricas, que passam a girar.
O que vimos corresponde à seção 8.2.4 do Griffiths. Não abordaremos a seção 8.3 do Griffiths (só na 4a edição), que é uma longa discussão, com exemplos, de como a força magnética não faz trabalho. Recomendo a leitura por conta própria! A lista de exercícios número 3 já está disponível.
Para quem tiver curiosidade, este é um artigo com bibliografia de experimentos que buscaram monopolos magnéticos.
Terminamos a última aula com uma expressão longa para a força eletromagnética por unidade de volume feita em uma distribuição arbitrária de cargas e correntes. Para simplificá-la, introduzimos o tensor das tensões de Maxwell, e vimos que a densidade de força pode ser reescrita como o divergente desse tensor.
Com isso, obtivemos a equação de continuidade do momento. Na derivação, vimos que o vetor de Poynting aparece com duas funções: como fluxo de energia/tempo transportada, e como densidade de momento (multiplicado por constante). O mesmo acontece com o tensor de tensões: representa a tensão sobre superfície, e a densidade de corrente de momento.
Exemplo 8.2: calculamos a força que o hemisfério Sul de uma esfera uniformemente carregada faz sobre o hemisfério Norte, usando o tensor T. Fizemos o cálculo de duas formas, ou seja, usando duas superfícies diferentes que envolvem o hemisfério Norte, obtendo o mesmo resultado.
Exemplo 8.3: cabo coaxial carregado e transportando corrente. Obtivemos a potência transmitida e o momento da configuração (estática) de campos eletromagnéticos.
Leiam esta introdução a tensores, escrita para alunos de física e engenharia, o começo é uma boa leitura caso você esteja com dúvidas sobre tensores.
Começamos resolvendo o problema 7.42, que discute a diferença entre condutores perfeitos e supercondutores.
Iniciamos o capítulo 8: Leis de conservação. Começamos discutindo o que é uma lei de conservação local de uma quantidade, usando como exemplo a carga. Em seguida provamos o teorema de Poyinting. Começamos derivando uma equação simples para a potência associada ao trabalho feito pelas forças eletromagnéticas sobre um conjunto de cargas: a densidade de potência é o produto escalar de E e J. Reescrevemos essa expressão para obter a equação de continuidade de energia, em que aparece a densidade de energia u e o vetor de Poynting S.
Exemplo 8.1: calculamos a potência por unidade de comprimento dissipada num fio, usando o fluxo do vetor de Poynting para dentro do fio.
Momento: vimos, usando uma situação simples em que 2 cargas se aproximam, que a 3a Lei de Newton não vale para a eletrodinâmica, se não incluirmos um novo termo. Vamos encontrar esse novo termo, que é a densidade de momento do campo.
Encontramos uma expressão longa, em termos dos campos E e B, para a densidade da força eletromagnética sobre cargas. Na próxima aula vamos simplificar a notação, introduzindo o tensor de tensões de Maxwell.
O que vimos corresponde às seções 8.1.1, 8.1.2, 8.2.1, e 8.2.2.
Começamos a aula discutindo o problema 2.50 (3a edição) e 7.21 (da 4a), que envolvem a inadequação das equações de Maxwell, sem a aplicação de condições de contorno ou simetrias adequadas, para obter a solução de certos problemas.
Resolvemos também o problema 7.34 (3a edição), em que usamos a função degrau e sua derivada, a função delta de Dirac.
Equações de Maxwell na matéria: a ideia é reescrever as equações de Maxwell para a matéria de maneira a explicitamente só incluirmos as distribuições livres de cargas e correntes, e não aquelas produzidas pela matéria sob o campo externo (as distribuições “presas”). Vimos que na eletrodinâmica surge um novo termo na densidade de corrente, que é aquela que surge por variações da polarização P. Obtivemos as equações de Maxwell para a matéria, para os campos E, B, H e D.
Usando relações constitutivas de materiais lineares, as equações passam a ser somente para os campos E e B.
Aplicando as versões integrais das equações obtidas, obtivemos as condições de contorno para os campos na interface entre dois materiais.
O que vimos corresponde às seções 7.3.5 e 7.3.6 do Griffiths; terminamos esse capítulo, vejam e resolvam os problemas da 2a lista.
Exemplo 7.13: energia armazenada em cabo coaxial (usando a densidade de energia magnética que discutimos na última aula).
Equações do eletromagnetismo, pré-Maxwell. Vimos duas formas de reconhecer que a Lei de Ampère, tal como estava formulada, é inconsistente.
Maxwell consertou a Lei de Ampère, acrescentando um termo que chamou de corrente de deslocamento, proporcional à derivada temporal do campo elétrico.
Exemplo 7.14 (só na 4a edição): um problema em que a corrente de deslocamento é exatamente oposta a J, logo não há campo magnético.
Problema 7.31 (3a ed.): um modelo simples para capacitor carregando.
Equações de Maxwell: vimos que até a equação de continuidade é consequência da nova Lei de Ampère, com a correção de Maxwell.
A possibilidade de monopolos magnéticos: nunca foram observados, mas as leis do eletromagnetismo ficariam ainda mais simétricas (por troca de E e B) caso houvesse monopolos magnéticos.
O que vimos corresponde às seções 7.3.1 a 7.3.4 (3a. edição do Griffiths).
Alguns assuntos relacionados à aula de hoje:
Devido ao trânsito caótico e a diversos pedidos de alunos, resolvi cancelar a aula desta sexta, 28/2. Retomaremos as aulas na segunda 10/3. A lista de exercícios cuja entrega estava marcada para amanhã fica para segunda 10/3.
Resolvemos o problema 7.17 (problema simples de indução).
Indutância: é a constante de proporcionalidade entre a corrente em um circuito e o fluxo em um outro circuito (indutância mútua) ou no próprio circuito (auto-indutância, ou simplesmente indutância).
Vimos vários exemplos: indutância de um solenóide toroidal, circuito LR, problema 7.21 (3a edição).
Energia do campo magnético: encontramos uma fórmula para o trabalho que precisamos fazer para levar a corrente de zero a I, trabalhando contra a fem auto-induzida ( W=\frac{1}{2}LI^2 ). A partir daí, encontramos duas fórmulas para W, uma que faz referência à orientação relativa de A e de J, e outra, mais simples, que diz que a densidade de energia do campo magnético é simplesmente B^2/2 \mu_0.
Lembrando que B não faz trabalho, quem fez esse trabalho W? Para partir de corrente zero até um valor de referência é preciso variar I, o que faz variar B e \Phi, levando a um campo elétrico induzido, que é quem faz o trabalho!
O que vimos corresponde às seções 7.2.3 e 7.2.4 do Griffiths.
Resolvemos o problema 7.10, de um gerador de corrente alternada.
Lei de Faraday: discutimos 3 experimentos feitos por Faraday, e encontramos a lei de Faraday, que pode ser expressa na forma integral ou diferencial. Discutimos qualitativamente a Lei de Lenz, que ajuda a encontrarmos as direções da fem induzida.
Discutimos algumas demonstrações da Lei de Faraday/Lenz: anel que salta, ímã que cai em tubo metálico.
A semelhança entre nossa nova equação para o rotacional de E, e a equação para o campo B em magnetostática, permite que usemos análogos à Lei de Biot-Savart e Ampère para calcular o campo elétrico induzido por B(t). Vimos dois exemplos disso (exemplos 7.7 e 7.8). Alerta: estamos no regime quase-estático, usando a lei de Ampère como se a corrente fosse estacionária.
Exemplo 7.9: um exemplo de como o cálculo no regime quase-estático dá um resultado absurdo.
O que vimos corresponde às seções 7.2.1, 7.2.2 do Griffiths.
Como eu prometi, alguns links:
Vejam links para dois vídeos demonstrando aplicações da indução magnética:
Este primeiro vídeo mostra
um canhão que atira anéis. O bastão central é um grande eletroímã, quando ligamos a corrente ele induz uma corrente contrária no anel, que é repelido.
Este
segundo vídeo mostra como amassar latas de alumínio sem tocá-las! Você saberia explicar porque as latas ficam amassadas, sem que nada as toque?
Continuando o cap. 7 do Griffiths:
Resolvi os problemas 7.1 e 7.2, relativos ao cálculo da corrente elétrica em duas configurações diferentes de condutores.
Força eletromotriz (fem): como o campo elétrico é o mesmo em todo o circuito.
Definição de fem como o trabalho feito pela fonte, por unidade de carga.
Fem de movimento: um modelo simples de gerador, com movimento de circuito retangular em região com campo magnético constante. Vimos que se você move o circuito para fora da região com campo (diminuindo o fluxo de B no circuito), surge uma corrente elétrica, devido à força magnética. Vimos que a fem pode ser calculada diretamente com a variação do fluxo.
Vimos uma prova geral que isso permanece verdade para circuitos que mudam de formato, para B variável e em qualquer direção. Vimos também que nem sempre dá para sequer definir o fluxo no circuito, quando a geometria do circuito é mais complicada, envolvendo correntes volumétricas, por exemplo.
Bem-vindos ao curso! O eletromagnetismo é uma das teorias mais bonitas já desenvolvidas, e será um prazer estudar sua formulação e suas múltiplas aplicações com vocês.
Começamos a aula com uma apresentação minha e do conteúdo do curso, datas de prova, livro texto, etc - tudo isso está disponível, de forma permanente, na primeira página deste site.
Começamos o conteúdo discutindo:
Lei de Ohm - uma regrinha, descoberta empiricamente, que descreve o comportamento da maior parte dos materiais que conhecemos, em relação a como surge uma corrente neles quando empurramos as cargas em seu interior (usualmente, com um campo elétrico.
2 exemplos de cálculo da corrente (7.1 e 7.2 do Griffiths), e como ela é proporcional a V - a constante de proporcionalidade depende da condutividade do material, e da forma (geometria) do corpo.
Exemplo 7.3: mostramos que o campo no interior do condutor cilíndrico do exemplo 7.1 é uniforme.
Discutimos 2 modelos de condução elétrica em materiais, para entender por que é plausível que a Lei de Ohm seja válida. A explicação melhor, claro, é aquela dada pela mecânica quântica, mas não estudaremos isso aqui.
O que vimos corresponde à seção 7.1 do livro do Griffiths.
Este ano as equações de Maxwell estão completando 150 anos - o King's College de Londres, onde ele desenvolveu esse trabalho, tem um site interessante em que listam diversos eventos comemorativos disso.